productos notables
Primer producto notable.
Producto de binomios que tienen un termino idéntico (o común), es decir, expresiones como (x + a) (x + b).
Usamos la literal x en ambos binomios para indicar que se trata de un termino común o idéntico.
Obtengamos el producto de (x + a) (x +b) efectuando la operación como se explico en la multiplicación de polinomios.
x + a
x + b
_______________________
x2 + ax
+ bx + ab
_______________________
x2 + ax + bx + ab
Observamos que ax y bx son términos semejantes que se pueden reducir a un solo termino, como de indica.
ax +bx = (a +b)x
De manera que tenemos : (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x + ab
Segundo producto notable.
Producto de dos binomios iguales (x +a)(x +a), conocido como el cuadrado de un binomio : (x +a)2
Obtengamos el producto x + a
x + a_________
x2 + ax
+ ax + a2____
x2 + ax + ax + a2
Como : ax + ax = (a + a)x = 2ax
Tenemos : (x + a)(x + a)= (x + a)2 = x2 +2ax + a2
Tercer producto notable.
Producto de binomio del tipo (ax + b)(cx + d)cuando a, b, c y d son números enteros.
Obtengamos el producto : ax + b
cx + d .
acx2 + bcx
+ adx + bd .
acx2 + adx + bcx + bd
Como : adx + bcx = (ad + bc)x
Tenemos : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Cuarto producto notable.
Producto de binomio del tipo (x + a)(x - a), que se conocen como binomios conjugados.
Obtengamos el producto: x + a
x - a
_____________________
x2 + ax
- ax - a2
______________________
x2 + 0x - a2
Tenemos que : (x + a)(x - a) = x2 - a2
Quinto producto notable.
Producto de tres binomios iguales del tipo (x + a), conocido como cubo de un binomio o (x + a)3
En el segundo producto notable obtuvimos: (x + a)(x + a)=x2 + 2ax + a2
De manera que para obtener el producto de (x + a)(x + a)(x + a), efectuamos la siguiente operación:
X2 + 2ax + a2
x + a
__________________
x3 + 2ax2 + a2x
ax2 + 2a2x + a3
________________________
x3 + 3ax2 + 3a3x + a3
entonces : (x + a)(x + a)(x + a)= (x + a)3= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
Sexto producto notable.
Multiplicación de expresiones del tipo (x + y)(x2 -xy + y2)
Obtengamos el producto : x2 - xy + y2
x + y
___________________
x3 - x2y + xy2
x2y - xy2 + y3
________________________
x3 + y3
es decir : (x + y)(x2 - xy + y2)= x3 + y3
Séptimo producto notable.
Multiplicación de expresiones del tipo (x - y)(x2 + xy + y2)
Obtengamos el producto : x2 + xy + y2
x - y
__________________
x3 + x2y + xy2
- x2y - xy2 - y3
___________________________
x3 - y3
Entoces: (x - y)(x2 + xy + y2)= x3 - y3
FACTORIZACIÓN
Factorización de expresiones que tienen factor común.
Observa la siguiente expresión : am + bm + cm
Nota: que m es factor en cada uno de los términos; recordando la propiedad distributiva, podemos escribirla así;
am + dm + cm = m (a + b + c)
Factorización de trinomios cuadrados perfectos .
Un trinomio cuadrado perfecto es le resultado que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado; es de esperarse entonces que su factorización sea este binomio.
Trinomio Factorización
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
si la expresión cuadrática por factorizar se identifica como un trinomio cuadrado prefecto, la factorización es siempre un binomio elevado al cuadrado.
Factorización de expreciones cuadráticas del tipo x2 + (a + b)x + ab, cuando a y b son enteros.
En el tema de productos notables , obtuvimos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, que puede escribirse
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ………………(A)
Analizando (A) observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de dos factores, que son dos binomios lineales con un termino común: (x + a) y (x + b).
Factorización de expresiones cuadráticas del tipo
acx2 + (ad + bc)x + bd cuando a,b,c y d son enteros y ac = 1.
Cuando estudiamos productos notables obtuvimos que:
(ax + b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
o bien acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx +d)
RADICACIÓN
Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.
Así 2a es raíz cuadrada de 4a2 porque ( 2a )2 = 4a2 y -2a también es raíz cuadrada de 4a2 porque (-2a)2 = 4a2.
3x es raíz cúbica de 27x3 porque (3x)3= 27x3.
El signo de raíz es , llamado signo radical. De baja de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical.
El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es 2.
Así, a4 significa una cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical a4; esta raíz es a2 y -a2 porque (a2)2= a4 y (-a2)2= a4.
3 8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3; esta raíz es 2x porque (2x)3= 8x3.
EXPRESION RADICAL O RADICAL. Es toda raíz indicada de un numero o de una expresión algebraica. Así 4 , 3 9a3 , 4 16a3 , son expresiones radicales.
Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta es irracional.
Las expresiones irracionales como 2 , 3 3a2 son las que comúnmente se llaman radicales.
El grado de un radical lo indica su índice. Así, 2ª es un radical de segundo grado; 3 5a2 es un radical de tercer grado; 4 3x es un radical de cuarto grado.
SIGNOS DE LAS RAICES.
1) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical.
Así, 3 27a3 = 3a porque (3a)3= 27a3
3 27a3 = -3a porque (-3a)3= -27a3
5 x10 = x2 porque (x2)5 = x10
5 -x10 = -x2 porque (-x2)5 = -x10.
2) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo : + y -
Así, 25x2 = 5x o -5x por que (5x)2= 25x2 y (-5x)2= 25x2.
Esto se indica de este modo : 25x2 = + - 5x.
Del propio modo, 4 16a4 = 2a y -2a porque (2a)4= 16a4 y (-2a)4 = 16a4 .
Esto se indica : 4 16a4 = + - 2a.
CANTIDAD IMAGINARIA.
Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.
Así, -4 no se puede extraer. La raíz cuadrada de -4 no es 2 porque 22=4 y no -4, y tampoco es -2porque (-2)2=4 y no -4. -4 es una cantidad imaginaria
Del propio modo, -9 -a2 4 -16x2 son cantidades imaginarias
CANTIDAD REAL. Es una expresión que no contiene ninguna cantidad imaginaria. Así, 3a, 8, 5 son cantidades reales.
VALOR ALGEBRAICO Y ARITMETICO DE UN RADICAL.
En general, una cantidad tiene tantas raíces de un grado dado como unidades tiene el grado de raíz. Así, toda cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc., pero generalmente una más raíces de éstas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, dos de las cuales son imaginarias.
El valor real y positivo de un radical, si existe, o el valor real negativo si no existe el positivo, es lo que se llama valor aritmético del radical. Así,
9 = + - 3; el valor aritmético de 9 es + 3
4 16 = + - 2 ; el valor aritmético de 4 16 es + 2
al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritmético.
RAIZ DE UNA POTENCIA
Para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz.
Decimos que n a m = a m/n.
En efecto : (a m/n)n = a (m/n) n = am, cantidad subradical
ejemplo.
a4 = a 4/2 = a2
Si el exponente de la potencia no es divisible por el índice de la raíz, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.
Ejemplo.
a =a ½
RACIONALIZACIÒN.
Al proceso de eliminar radicales del denominador de una expresión se le denomina “racionalizar el denominador”.
Si el denominador es un radical que no tiene raíz perfecta, deberá convertirse utilizando lo expresado en Pág. Anteriores. “un radical tiene raíz perfecta cuando la cantidad subradical es expresada en factores que están elevados en un exponente múltiplo de la raíz.
Es obvio que nos referimos a expresiones fraccionarias en las cuales el denominador es una expresión radical y cuyo numerador puede no serlo.
Racionalizar el denominador de la expresión 3 5
2 3
solución: el radical denominador tendrá raíz perfecta si el exponente de la cantidad subradical es 2; esto se logra multiplicando por 3 , ya que 3 * 3 = 3 = 3
recuerda que si multiplicamos por 3 el denominador, el numerador debe ser multiplicado por la misma cantidad para que no se altere la expresión.
Procedimiento: 3 5 . 3 = 3 5 3 = 3 15 = 1 15
2 3 3 2 3 6 2
ejemplo: racionalizar el denominador de al expresión 5
16
solución: como 16 = 2, sustituyendo tenemos: 5 = 5
16 2
el radical denominador tendrá raíz perfecta si la cantidad subradical tiene como exponente un múltiplo de 3 ( que es el índice de la raíz),; esto se logra multiplicando numerador y denominador por 2 , ya que 2 . 2 = 2
procedimiento: 5 . 2 = 5 2 = 5 2 = 5 2
2 2 2 2 8
observa que 2 no esta simplificado, de manera que:
5 = 5 2 . 2 = 5 . 2 2 = 5 4
16 8 8 4
ahora demuestra que se obtiene el mismo resultado y de manera mas facil si el numerador y el denominador se multiplican por 2 , ya que 2 . 2 = 2 ; es decir, la operación se simplifica si se busca el múltiplo más próximo al índice de la raíz.
Ejemplo: racionalizar el denominador de la expresión 7
2 - 3
en este caso procedemos de manera diferente a la utilizada en los ejemplos anteriores. Observa que el denominador es al diferencia de dos radicales; si multiplicamos por su conjugado, que es ( 2 + 3 ), tenemos.
( 2- 3)( 2 + 3 ) = ( 2 ) - ( 3) = 2-3 = -1
y por lo tanto se ha eliminado el denominador radical.
Procedimiento; 7 . 2 + 3 = 7 ( 2 + 3 ) = 14 + 21 = - 14 - 21
2 - 3 2 + 3 -1-1
RELACIONES
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIONES Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS
El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia es establece mediante una regla de asociación.
Las reglas de asociación entre los elementos de los conjuntos, por lo general, no son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el lenguaje matemático.
Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:
Cuando viajas en autobús o en automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad y, como sabes por cursos anteriores de física, regla de asociación es = velocidad por tiempo.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.
Si cada elemento de cualquier conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y a través de una regla de asociación o correspondencia, esto define una función F de X en Y.
Al conjunto X se le conoce como el dominio de la función F.
Al elemento Y que corresponde a determinado elemento X el dominio se le conoce como la imagen de X bajo F y se le denota como F(X).
El conjunto de imágenes F(X) constituyen el conjunto Y, al que se le conoce como el rango de la función F.
De la función conviene destacar lo siguiente:
Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del rango.
Las imágenes Y o F(X), que corresponden a los elementos X del dominio, se determina mediante la regla de la asociación o correspondencia.
En una función, de dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición sobre que a un elemento del dominio sólo le corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango.
NOTA: Cuando la regla de la función no se cumple se da relación.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN.- Una ecuación es una proposición de igualdad que involucra una o más literales que representan valores no conocidos. Si la proposición sólo involucra números, la ecuación es numérica; si en cambio involucra expresiones algebraicas, se denomina ecuación algebraica.
Ejemplos de ecuaciones numéricas:
1+2+5=8 2+3=5 5-2=3
Son ejemplos de ecuaciones algebraicas:
5x+3=0
8x-3y=2
2ª + 5b = 3c-4
LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA SOLA INCÓGNITA.
Una ecuación lineal con una variable es una proposición de la forma
ax + b =0 con a = 0
Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
Para encontrar la solución de la ecuación lineal con una incógnita, procedemos de la siguiente manera .
Si existen varios términos que contienen a la incógnita, éstos deben situarse en el mismo lado del signo igual, comúnmente del lado izquierdo. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno sólo.
Si existen varios términos que no contienen a la incógnita, éstos deben situarse al otro lado del signo igual. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno solo.
Si el coeficiente de la incógnita no es la unidad, se debe transformar en este valor .
En algunas ocasiones se tendrán que efectuar operaciones, adicionales como por ejemplo, eliminar signos de agrupamiento.
Las propiedades de las ecuaciones nos permiten despejar la incógnita y por lo tanto determinar su valor.
A continuación resolveremos un ejemplo señalando las propiedades de las igualdades utilizadas.
Ejemplo: encontrar la solución lineal 7x+8 = 2x-7
Situar los términos en x del lado izquierdo de la igualdad.
Identificamos la ecuación de la siguiente manera:
7x+8 = 2x-7
A = B
La propiedad aditiva 1) de la igualdad establece que si A = B, entonces A + C = B + C
Considerando que C es inverso aditivo del término (2x) y aplicando la propiedad tenemos:
7x + 8 + (-2x ) = 2x - 7 + (- 2x)
A + C = B + C
Agrupando y simplificando:
7x + 2x + 8 = 2x - 2x - 7
7x - 2x + 8 = - 7
Observa que los términos que contienen a x están ahora en el lado izquierdo; simplificando.
5x + 8 = - 7
Situar en el lado derecho del signo igual, los términos que no contienen a x, usando nuevamente la propiedad aditiva y considerando como C al inverso aditivo del término 8 que es -8, tenemos:
5x + 8 + (-8) = -7 + (-8)
simplificando:
5x = -7 - 8
El coeficiente de x debe ser la unidad. Identifiquemos la ecuación de la siguiente manera :
5x = - 15
A = B
La propiedad multiplicativa de la igualdad establece que si A = B, entonces A . C = B . C
Considerando que C es el inverso multiplicativo del coeficiente de la incógnita (5) que resulta ser (1/5), aseguramos que dicho coeficiente se transforma en la unidad.
1 x = ( -15) 1
5 5
x = -15
5
de donde x = - 3
LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS.
La ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas se expresa como:
Ax + By + C = 0
Donde A,B,C = R A = 0 Y B = 0
Al proponer una igualdad involucra a dos variables o incógnitas, representadas
por x y y, aun cuando puede usarse cualquier par de letras del alfabeto.
Estas ecuaciones se pueden ver desde los sig. Punto
1.- conocida la ecuación, determinaremos su solución.
2.-Se construira la ecuación apartir de enunciados que conduzacna a ello.
3.-Solución de ecuaciones lineales con dos variables.
Es evidente que la solución de estas ecuaciones es uan pareja de valores x y y que satisfacen la igualdad.
En la siguiente ecuación es fácil determinar los valores de x y y que la satisfacen: X + y =2
La solución seria: x =1.5 y y = 0.5 también es una solución. Procediendo de esta manera podemos determinar un numero infinito de soluciones.
El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y que constituyen el conjunto solución consiste en:
Despejar cualquiera de las variables.
Asignarle valores a la otra variable.
Determinar el valor que le corresponde a la variable que se despejo.
Ejemplo: Dada la ecuación 5x + y - 3= 0, encontrar al menos tres soluciones:
se eligio despejar la variable y
y = -5x + 3
se le asigno los siguientes valores a x
x = 2, x= o y x= 3
( Los valores asignados a x son arbitrarios; es decir, no dependen ni estan condicionados; por esta razón se le conoce como la variable independiente.
se determino los valores de y que corresponden a los valores asignados a x.)
Si x= -2 y = -5(-2) + 3 y = 13
Si x = 0 y = -5(0) +3 y = 3
Si x= 3 y = - 5(3) + 3 y = -12
Soluciones:
X = -2 x = 0 x = 3
Y = 13 y = 3 y = -12
( Los valores y dependen de los valores asignados a x; por esta razón se le conoce cono variable dependiente.
Comprobación:
Sustituyendo la ecuación 5x + y -3 = 0 los valores de x y y, esta se debe satisfacer.
Para x = 3 y y = -12 para x = -2 y y= 13 para x = 0 y y = 3
5(3) - 12 -3 = 0 5(-2) + 13 -3 = 0 5 (0) + 3 - 3 = 0
15 - 15 = 0 -10 + 13 - 3 = 0 0 = 0
0 = 0 0 = 0
28
+ bx + ab
_______________________
x2 + ax + bx + ab
Observamos que ax y bx son términos semejantes que se pueden reducir a un solo termino, como de indica.
ax +bx = (a +b)x
De manera que tenemos : (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x + ab
Segundo producto notable.
Producto de dos binomios iguales (x +a)(x +a), conocido como el cuadrado de un binomio : (x +a)2
Obtengamos el producto x + a
x + a_________
x2 + ax
+ ax + a2____
x2 + ax + ax + a2
Como : ax + ax = (a + a)x = 2ax
Tenemos : (x + a)(x + a)= (x + a)2 = x2 +2ax + a2
Tercer producto notable.
Producto de binomio del tipo (ax + b)(cx + d)cuando a, b, c y d son números enteros.
Obtengamos el producto : ax + b
cx + d .
acx2 + bcx
+ adx + bd .
acx2 + adx + bcx + bd
Como : adx + bcx = (ad + bc)x
Tenemos : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Cuarto producto notable.
Producto de binomio del tipo (x + a)(x - a), que se conocen como binomios conjugados.
Obtengamos el producto: x + a
x - a
_____________________
x2 + ax
- ax - a2
______________________
x2 + 0x - a2
Tenemos que : (x + a)(x - a) = x2 - a2
Quinto producto notable.
Producto de tres binomios iguales del tipo (x + a), conocido como cubo de un binomio o (x + a)3
En el segundo producto notable obtuvimos: (x + a)(x + a)=x2 + 2ax + a2
De manera que para obtener el producto de (x + a)(x + a)(x + a), efectuamos la siguiente operación:
X2 + 2ax + a2
x + a
__________________
x3 + 2ax2 + a2x
ax2 + 2a2x + a3
________________________
x3 + 3ax2 + 3a3x + a3
entonces : (x + a)(x + a)(x + a)= (x + a)3= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
Sexto producto notable.
Multiplicación de expresiones del tipo (x + y)(x2 -xy + y2)
Obtengamos el producto : x2 - xy + y2
x + y
___________________
x3 - x2y + xy2
x2y - xy2 + y3
________________________
x3 + y3
es decir : (x + y)(x2 - xy + y2)= x3 + y3
Séptimo producto notable.
Multiplicación de expresiones del tipo (x - y)(x2 + xy + y2)
Obtengamos el producto : x2 + xy + y2
x - y
__________________
x3 + x2y + xy2
- x2y - xy2 - y3
___________________________
x3 - y3
Entoces: (x - y)(x2 + xy + y2)= x3 - y3
FACTORIZACIÓN
Factorización de expresiones que tienen factor común.
Observa la siguiente expresión : am + bm + cm
Nota: que m es factor en cada uno de los términos; recordando la propiedad distributiva, podemos escribirla así;
am + dm + cm = m (a + b + c)
Factorización de trinomios cuadrados perfectos .
Un trinomio cuadrado perfecto es le resultado que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado; es de esperarse entonces que su factorización sea este binomio.
Trinomio Factorización
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
si la expresión cuadrática por factorizar se identifica como un trinomio cuadrado prefecto, la factorización es siempre un binomio elevado al cuadrado.
Factorización de expreciones cuadráticas del tipo x2 + (a + b)x + ab, cuando a y b son enteros.
En el tema de productos notables , obtuvimos:
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, que puede escribirse
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ………………(A)
Analizando (A) observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de dos factores, que son dos binomios lineales con un termino común: (x + a) y (x + b).
Factorización de expresiones cuadráticas del tipo
acx2 + (ad + bc)x + bd cuando a,b,c y d son enteros y ac = 1.
Cuando estudiamos productos notables obtuvimos que:
(ax + b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
o bien acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx +d)
RADICACIÓN
Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.
Así 2a es raíz cuadrada de 4a2 porque ( 2a )2 = 4a2 y -2a también es raíz cuadrada de 4a2 porque (-2a)2 = 4a2.
3x es raíz cúbica de 27x3 porque (3x)3= 27x3.
El signo de raíz es , llamado signo radical. De baja de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical.
El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es 2.
Así, a4 significa una cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical a4; esta raíz es a2 y -a2 porque (a2)2= a4 y (-a2)2= a4.
3 8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3; esta raíz es 2x porque (2x)3= 8x3.
EXPRESION RADICAL O RADICAL. Es toda raíz indicada de un numero o de una expresión algebraica. Así 4 , 3 9a3 , 4 16a3 , son expresiones radicales.
Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta es irracional.
Las expresiones irracionales como 2 , 3 3a2 son las que comúnmente se llaman radicales.
El grado de un radical lo indica su índice. Así, 2ª es un radical de segundo grado; 3 5a2 es un radical de tercer grado; 4 3x es un radical de cuarto grado.
SIGNOS DE LAS RAICES.
1) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical.
Así, 3 27a3 = 3a porque (3a)3= 27a3
3 27a3 = -3a porque (-3a)3= -27a3
5 x10 = x2 porque (x2)5 = x10
5 -x10 = -x2 porque (-x2)5 = -x10.
2) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo : + y -
Así, 25x2 = 5x o -5x por que (5x)2= 25x2 y (-5x)2= 25x2.
Esto se indica de este modo : 25x2 = + - 5x.
Del propio modo, 4 16a4 = 2a y -2a porque (2a)4= 16a4 y (-2a)4 = 16a4 .
Esto se indica : 4 16a4 = + - 2a.
CANTIDAD IMAGINARIA.
Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.
Así, -4 no se puede extraer. La raíz cuadrada de -4 no es 2 porque 22=4 y no -4, y tampoco es -2porque (-2)2=4 y no -4. -4 es una cantidad imaginaria
Del propio modo, -9 -a2 4 -16x2 son cantidades imaginarias
CANTIDAD REAL. Es una expresión que no contiene ninguna cantidad imaginaria. Así, 3a, 8, 5 son cantidades reales.
VALOR ALGEBRAICO Y ARITMETICO DE UN RADICAL.
En general, una cantidad tiene tantas raíces de un grado dado como unidades tiene el grado de raíz. Así, toda cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc., pero generalmente una más raíces de éstas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, dos de las cuales son imaginarias.
El valor real y positivo de un radical, si existe, o el valor real negativo si no existe el positivo, es lo que se llama valor aritmético del radical. Así,
9 = + - 3; el valor aritmético de 9 es + 3
4 16 = + - 2 ; el valor aritmético de 4 16 es + 2
al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritmético.
RAIZ DE UNA POTENCIA
Para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz.
Decimos que n a m = a m/n.
En efecto : (a m/n)n = a (m/n) n = am, cantidad subradical
ejemplo.
a4 = a 4/2 = a2
Si el exponente de la potencia no es divisible por el índice de la raíz, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.
Ejemplo.
a =a ½
RACIONALIZACIÒN.
Al proceso de eliminar radicales del denominador de una expresión se le denomina “racionalizar el denominador”.
Si el denominador es un radical que no tiene raíz perfecta, deberá convertirse utilizando lo expresado en Pág. Anteriores. “un radical tiene raíz perfecta cuando la cantidad subradical es expresada en factores que están elevados en un exponente múltiplo de la raíz.
Es obvio que nos referimos a expresiones fraccionarias en las cuales el denominador es una expresión radical y cuyo numerador puede no serlo.
Racionalizar el denominador de la expresión 3 5
2 3
solución: el radical denominador tendrá raíz perfecta si el exponente de la cantidad subradical es 2; esto se logra multiplicando por 3 , ya que 3 * 3 = 3 = 3
recuerda que si multiplicamos por 3 el denominador, el numerador debe ser multiplicado por la misma cantidad para que no se altere la expresión.
Procedimiento: 3 5 . 3 = 3 5 3 = 3 15 = 1 15
2 3 3 2 3 6 2
ejemplo: racionalizar el denominador de al expresión 5
16
solución: como 16 = 2, sustituyendo tenemos: 5 = 5
16 2
el radical denominador tendrá raíz perfecta si la cantidad subradical tiene como exponente un múltiplo de 3 ( que es el índice de la raíz),; esto se logra multiplicando numerador y denominador por 2 , ya que 2 . 2 = 2
procedimiento: 5 . 2 = 5 2 = 5 2 = 5 2
2 2 2 2 8
observa que 2 no esta simplificado, de manera que:
5 = 5 2 . 2 = 5 . 2 2 = 5 4
16 8 8 4
ahora demuestra que se obtiene el mismo resultado y de manera mas facil si el numerador y el denominador se multiplican por 2 , ya que 2 . 2 = 2 ; es decir, la operación se simplifica si se busca el múltiplo más próximo al índice de la raíz.
Ejemplo: racionalizar el denominador de la expresión 7
2 - 3
en este caso procedemos de manera diferente a la utilizada en los ejemplos anteriores. Observa que el denominador es al diferencia de dos radicales; si multiplicamos por su conjugado, que es ( 2 + 3 ), tenemos.
( 2- 3)( 2 + 3 ) = ( 2 ) - ( 3) = 2-3 = -1
y por lo tanto se ha eliminado el denominador radical.
Procedimiento; 7 . 2 + 3 = 7 ( 2 + 3 ) = 14 + 21 = - 14 - 21
2 - 3 2 + 3 -1-1
RELACIONES
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIONES Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS
El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia es establece mediante una regla de asociación.
Las reglas de asociación entre los elementos de los conjuntos, por lo general, no son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el lenguaje matemático.
Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:
Cuando viajas en autobús o en automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad y, como sabes por cursos anteriores de física, regla de asociación es = velocidad por tiempo.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.
Si cada elemento de cualquier conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y a través de una regla de asociación o correspondencia, esto define una función F de X en Y.
Al conjunto X se le conoce como el dominio de la función F.
Al elemento Y que corresponde a determinado elemento X el dominio se le conoce como la imagen de X bajo F y se le denota como F(X).
El conjunto de imágenes F(X) constituyen el conjunto Y, al que se le conoce como el rango de la función F.
De la función conviene destacar lo siguiente:
Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del rango.
Las imágenes Y o F(X), que corresponden a los elementos X del dominio, se determina mediante la regla de la asociación o correspondencia.
En una función, de dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición sobre que a un elemento del dominio sólo le corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango.
NOTA: Cuando la regla de la función no se cumple se da relación.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DEFINICIÓN DE ECUACIÓN.- Una ecuación es una proposición de igualdad que involucra una o más literales que representan valores no conocidos. Si la proposición sólo involucra números, la ecuación es numérica; si en cambio involucra expresiones algebraicas, se denomina ecuación algebraica.
Ejemplos de ecuaciones numéricas:
1+2+5=8 2+3=5 5-2=3
Son ejemplos de ecuaciones algebraicas:
5x+3=0
8x-3y=2
2ª + 5b = 3c-4
LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA SOLA INCÓGNITA.
Una ecuación lineal con una variable es una proposición de la forma
ax + b =0 con a = 0
Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.
Para encontrar la solución de la ecuación lineal con una incógnita, procedemos de la siguiente manera .
Si existen varios términos que contienen a la incógnita, éstos deben situarse en el mismo lado del signo igual, comúnmente del lado izquierdo. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno sólo.
Si existen varios términos que no contienen a la incógnita, éstos deben situarse al otro lado del signo igual. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno solo.
Si el coeficiente de la incógnita no es la unidad, se debe transformar en este valor .
En algunas ocasiones se tendrán que efectuar operaciones, adicionales como por ejemplo, eliminar signos de agrupamiento.
Las propiedades de las ecuaciones nos permiten despejar la incógnita y por lo tanto determinar su valor.
A continuación resolveremos un ejemplo señalando las propiedades de las igualdades utilizadas.
Ejemplo: encontrar la solución lineal 7x+8 = 2x-7
Situar los términos en x del lado izquierdo de la igualdad.
Identificamos la ecuación de la siguiente manera:
7x+8 = 2x-7
A = B
La propiedad aditiva 1) de la igualdad establece que si A = B, entonces A + C = B + C
Considerando que C es inverso aditivo del término (2x) y aplicando la propiedad tenemos:
7x + 8 + (-2x ) = 2x - 7 + (- 2x)
A + C = B + C
Agrupando y simplificando:
7x + 2x + 8 = 2x - 2x - 7
7x - 2x + 8 = - 7
Observa que los términos que contienen a x están ahora en el lado izquierdo; simplificando.
5x + 8 = - 7
Situar en el lado derecho del signo igual, los términos que no contienen a x, usando nuevamente la propiedad aditiva y considerando como C al inverso aditivo del término 8 que es -8, tenemos:
5x + 8 + (-8) = -7 + (-8)
simplificando:
5x = -7 - 8
El coeficiente de x debe ser la unidad. Identifiquemos la ecuación de la siguiente manera :
5x = - 15
A = B
La propiedad multiplicativa de la igualdad establece que si A = B, entonces A . C = B . C
Considerando que C es el inverso multiplicativo del coeficiente de la incógnita (5) que resulta ser (1/5), aseguramos que dicho coeficiente se transforma en la unidad.
1 x = ( -15) 1
5 5
x = -15
5
de donde x = - 3
LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS.
La ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas se expresa como:
Ax + By + C = 0
Donde A,B,C = R A = 0 Y B = 0
Al proponer una igualdad involucra a dos variables o incógnitas, representadas
por x y y, aun cuando puede usarse cualquier par de letras del alfabeto.
Estas ecuaciones se pueden ver desde los sig. Punto
1.- conocida la ecuación, determinaremos su solución.
2.-Se construira la ecuación apartir de enunciados que conduzacna a ello.
3.-Solución de ecuaciones lineales con dos variables.
Es evidente que la solución de estas ecuaciones es uan pareja de valores x y y que satisfacen la igualdad.
En la siguiente ecuación es fácil determinar los valores de x y y que la satisfacen: X + y =2
La solución seria: x =1.5 y y = 0.5 también es una solución. Procediendo de esta manera podemos determinar un numero infinito de soluciones.
El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y que constituyen el conjunto solución consiste en:
Despejar cualquiera de las variables.
Asignarle valores a la otra variable.
Determinar el valor que le corresponde a la variable que se despejo.
Ejemplo: Dada la ecuación 5x + y - 3= 0, encontrar al menos tres soluciones:
se eligio despejar la variable y
y = -5x + 3
se le asigno los siguientes valores a x
x = 2, x= o y x= 3
( Los valores asignados a x son arbitrarios; es decir, no dependen ni estan condicionados; por esta razón se le conoce como la variable independiente.
se determino los valores de y que corresponden a los valores asignados a x.)
Si x= -2 y = -5(-2) + 3 y = 13
Si x = 0 y = -5(0) +3 y = 3
Si x= 3 y = - 5(3) + 3 y = -12
Soluciones:
X = -2 x = 0 x = 3
Y = 13 y = 3 y = -12
( Los valores y dependen de los valores asignados a x; por esta razón se le conoce cono variable dependiente.
Comprobación:
Sustituyendo la ecuación 5x + y -3 = 0 los valores de x y y, esta se debe satisfacer.
Para x = 3 y y = -12 para x = -2 y y= 13 para x = 0 y y = 3
5(3) - 12 -3 = 0 5(-2) + 13 -3 = 0 5 (0) + 3 - 3 = 0
15 - 15 = 0 -10 + 13 - 3 = 0 0 = 0
0 = 0 0 = 0
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