POTENCIACIÓN
La potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces.
Así:
La primera potencia de una expresión es la misma expresión:
Ejemplo:
(2a)¹ = 2a
La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces.
Por ejemplo:
(2a)2 = 2a x 2a = 4a2
El cubo de una fracción es el resultado de tomarla como factor tres veces.
Por ejemplo:
(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 8a3
así: (2a)n = 2a x 2a x 2a .........n veces.
Al elevar una potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva., ya que este equivale a un producto en que todos los factores son positivos.
En el caso de las potencias de cantidades negativas:
1.-Toda cantidad par de una cantidad negativa es positiva.
2.- Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.
Se puede decir lo siguiente:
(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2
(-2a)3 = (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3
(-2a)4= (-2a) x (-2a) x (-2a) x (-2a) = 164a4.
Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.
Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponente es par, y es - cuando es exponte es impar-
Por ejemplo:
a).-(3ab2)3
(3ab2)3 = 33 .a1x3.b2x3 = 27 a3b6.
b).-(-3a2b3)2
(-3a2b3)2= 32.a2x2.b3x2= 9a4b6
Cuando el monomio es una fracción, para elevarlo a una potencia cualquiera, se eleva su numerador y su denominador a esa potencia.
Así:
-2x 4 = (2x)4 = 16x4
3y2 (3y2)4 81y8
Cubo de un binomio
Se sabe que:
(a+b)3 = a3 + 3a2 + 3ab2 + b2.
(a-b)3 = a3 - 3a2 + 3ab2 - b2.
Al llevar a efecto (4a3 +5a2b2)3.= (4a3)3 +(4a3)2 (5a2b2) + 3 (4a3) (5a2b2)2 + (5a2b2)3
= 64a9 + 240a8b2 + 300 a7 b4 +125a6b6
El triangulo de pascal.
Los coeficientes de los terminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da en seguida el triangulo de pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 esta el exponente del binomio.
Así, los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, ósea 1,4,6,4,1.
Los coeficientes del desarrollo de (m + n)5 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 5, ósea 1, 5,10, 10, 5, 1.
Los coeficientes del desarrollo de (2x-3y)7 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 7, o sea 1,7,21, 35, 35, 21, 7, 1.
En la practica, basta formar el triangulo hasta la fila horizontal en que después del 1 viene el exponente de binomio. Los números de esta ultima fila son los coeficientes que se necesitan.
MINIMO COMUN MULTIPLO.
COMUN MÚLTIPLO. De dos o màs expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Asì, 8ab es comùn múltiplo de 2ª y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2ª y por 4ab ; 3x-9x+6 es comùn múltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible exactamente por x-2 por x-3x+2.
MINIMO COMUN MÚLTIPLO. De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas .
Asì , el m.c.m. es de 4ª y 6ª es 12ª ; el m.c.m.de 2x , 6x y 9x es 18x. La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.
M.C.M DE MONOMIOS.
REGLA:
Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de èste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
Hallar el m.c.m. de ax y ax.
Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayor exponente x y tendremos :m.c.m.=ax.
(2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc
12ab=2.3ab
el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuación escribimos a con su mayor exponente b y c, luego:
m.c.m.=2. 3abc.
M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
REGLA:
Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes y no comunes, con su mayor exponente.
(1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x -3.
descomponiendo 6=2.3
3x-3=3(x-1)
m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)
(2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21
descomponiendo 14a=2.7a
7x-21=7(x-3)
el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)
(3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x
como 15x està contenido en 45x , prescindimos de 15x
descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)
45x=3 .5 .x
m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)
M.C.M. DE POLINOMIOS.
La regla es la misma del caso anterior.
(1) Hallar el m.c.m. de 4ax - 8axy+ 4ay , 6bx-6by
descomponiendo:
4ax - 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2 .a(x-y)
6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)
elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2
2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2 + 4by2 + 4b2y2
x3 +2bx2=x2(x+2b)
x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)
x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2
el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que està contenida exactamente en cada una de las primeras.
Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.
Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.
Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-x
MÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .
Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2
M.C.D. DE POLINOMIOS.
REGLA.
Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.
(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx
el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.
(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m
descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4
48a3 b3c=24.3.a3b3c
60a4b3m=22.3.5.a4b3m
el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.
M.C.D DE POLINOMIOS
Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios dados ; en el segundo caso se halla el m.c.d. por divisiones sucesivas.
m.c.d. de polinomios por descomposicion en factores .
REGLA.
Se descomponen los polinomios dados en susfactores primos . el m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
(1) Hallar el m.c.d. de 4a2+ 4ab y 2a4-2a2b2
factorando estas expresiones : 4a2+4ab =4a (a+b)=22a (a+b)
2a2-2a2b2=2a2(a+b)(a-b)
los factores comunes son 2, a y (a+b),luego m.c.d.=2 a(a+b) R.
(2) Hallar el m.c.d. de x2-a, x2-x-6 y x2+4x+4
factorando x2-4=(x+2) (x-2)
x2-x-6=(x-3) (x+2)
x2+4x+4=(x+2)
el factor comun es (x+2) y se toma con su menor exponente, luego m.c.d.= x+2. R.
OPERACIONES CON FRACCIONES .
SUMA.
REGLA PARA SUMAR FRACCIONES.
1.- Se simplifican las fracciones dadas si es posible .
2.-se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si son distintos denominador
3.-se efectúan las multiplicaciones indicadas
4.-se suman los denominadores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador comun
5.-se reducen términos semejantes en el numerador
6.-se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADOR MONOMIO.
(1) SUMAR 3/2ª y a-2/6a2
Hay que reducir las fracciones al mínimo común denominador
El m.c.m de los denominadores es 6a2 dividiendo 6a2 entre los denominadores, tenemos: 6a2/6a2=1 estos cocientes los multiplicamos por los numeradores respectivos y tendremos:
3/2a+a-2/6a2= 3(3a)/6a2+ a-2/6a2= 9a/6a2+a-2/6a2
(sumando los numeradores)= 9a+a-2/6a2= 10ª-2/6a2
simplificando = 2(5ª-1)/6ª2 = 5ª-1/3a2 R.
RESTA.
REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
(1).- Se simplifica las fracciones dadas si es posible
(2).-Se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si tienen distintos denominador.
(3)Se efectùan las multiplicaciones indicadas
(4)Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador comun
(5).-Se reducen términos semejantes en el numerador
(6).-Se simplifica el resultado si es posible.
RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIO.
de a+2b / restar 4ab2-3 / 6a2b
el m.c.m. de los denominadores es 6a2b. Dividiendo 6a2b entre cada denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tenemos.
A+2b/3a- 4ab2-3/6a2b = 2ab(a+2b)/6a2b-4a2b-3/6a2b
(multiplicando) = 2a2b+4ab2/6a2b -4ab2-3/6a2b
(restando los numeradores) = 2a2b+4ab2-(4ab2-3)/ 6a2b
(quitando paréntesis) = 2a2b+4ab2+3/ 6a2b
(reduciendo) = 2a2b+3/6a2b R.
(2) restar x+2/x2 de x-1/3x
el m.c.m. de los denominadores es 3x2, que sera el denominador comun
tendremos: x-1/3x - x+2/x2 =x(x-1)/3x2 - 3(x+2)/3x2
(multiplicando) = x2-x/3x2 - 3x+6/3x2
(restando los numeradores) =x2-x - (3x+6)/ 3x2
(quitando el paréntesis) = x2-x- 3x-6/3x2
(reduciendo) = x2-4x-6/3x2 R.
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción algebraica .- es convertirla en una fracción equivalente cuyos termonos sean primos entre si .
Cuando los terminos de una fraccìòn son primos entre si,la fracciòn es irreducible y entonces la fracción èsta reducida a su mas simple expresión o a su mìnima expresión.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS.
REGLA.
Se divide el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si.
=
(1) simplificar 4a2b5/6a3b3m
tendremos 4a2/6a3b3=2.1.b2/3.a.1=2b2/3am
Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a2 y a3 entre a2 y obtuvimos los cocientes 1 y a ;b5 y b3 entre b3 y obtuvimos los cocientes b2 y 1. como 2b2 y 3am no tienen ningún factor común, esta resulta irreducible
(2) simplificar 9x3y3/36x5y6
9x3y3/36x5y6= 1.1.1/4.x2.y3 = 1/4x2y8.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.
Regla
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.
(1) simplificar 2ª2 .
4ª2 -4ab
2ª2 . = 2a2 = a .
4ª2 -4ab 4ª(a-b) 2(a-b)
Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y a2 y a entre a.
(2) simplificar 4x2y3 .
24x3 y3 - 36x3y4
4x2y3 . = 4x2 y3 = 1 .
24x3 y3 - 36x3y4 12x3y3(2-3y) 3x(2-3y)
La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces.
Por ejemplo:
(2a)2 = 2a x 2a = 4a2
El cubo de una fracción es el resultado de tomarla como factor tres veces.
Por ejemplo:
(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 8a3
así: (2a)n = 2a x 2a x 2a .........n veces.
El signo de las potencias.
Al elevar una potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva., ya que este equivale a un producto en que todos los factores son positivos.
En el caso de las potencias de cantidades negativas:
1.-Toda cantidad par de una cantidad negativa es positiva.
2.- Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.
Se puede decir lo siguiente:
(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2
(-2a)3 = (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3
(-2a)4= (-2a) x (-2a) x (-2a) x (-2a) = 164a4.
Potencias en polinomios
Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.
Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponente es par, y es - cuando es exponte es impar-
Por ejemplo:
a).-(3ab2)3
(3ab2)3 = 33 .a1x3.b2x3 = 27 a3b6.
b).-(-3a2b3)2
(-3a2b3)2= 32.a2x2.b3x2= 9a4b6
Cuando el monomio es una fracción, para elevarlo a una potencia cualquiera, se eleva su numerador y su denominador a esa potencia.
Así:
-2x 4 = (2x)4 = 16x4
3y2 (3y2)4 81y8
Cubo de un binomio
Se sabe que:
(a+b)3 = a3 + 3a2 + 3ab2 + b2.
(a-b)3 = a3 - 3a2 + 3ab2 - b2.
Al llevar a efecto (4a3 +5a2b2)3.= (4a3)3 +(4a3)2 (5a2b2) + 3 (4a3) (5a2b2)2 + (5a2b2)3
= 64a9 + 240a8b2 + 300 a7 b4 +125a6b6
El triangulo de pascal.
Los coeficientes de los terminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da en seguida el triangulo de pascal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 esta el exponente del binomio.
Así, los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, ósea 1,4,6,4,1.
Los coeficientes del desarrollo de (m + n)5 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 5, ósea 1, 5,10, 10, 5, 1.
Los coeficientes del desarrollo de (2x-3y)7 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 7, o sea 1,7,21, 35, 35, 21, 7, 1.
En la practica, basta formar el triangulo hasta la fila horizontal en que después del 1 viene el exponente de binomio. Los números de esta ultima fila son los coeficientes que se necesitan.
MINIMO COMUN MULTIPLO.
COMUN MÚLTIPLO. De dos o màs expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Asì, 8ab es comùn múltiplo de 2ª y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2ª y por 4ab ; 3x-9x+6 es comùn múltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible exactamente por x-2 por x-3x+2.
MINIMO COMUN MÚLTIPLO. De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas .
Asì , el m.c.m. es de 4ª y 6ª es 12ª ; el m.c.m.de 2x , 6x y 9x es 18x. La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.
M.C.M DE MONOMIOS.
REGLA:
Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de èste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
Hallar el m.c.m. de ax y ax.
Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayor exponente x y tendremos :m.c.m.=ax.
(2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc
12ab=2.3ab
el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuación escribimos a con su mayor exponente b y c, luego:
m.c.m.=2. 3abc.
M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.
REGLA:
Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes y no comunes, con su mayor exponente.
(1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x -3.
descomponiendo 6=2.3
3x-3=3(x-1)
m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)
(2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21
descomponiendo 14a=2.7a
7x-21=7(x-3)
el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)
(3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x
como 15x està contenido en 45x , prescindimos de 15x
descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)
45x=3 .5 .x
m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)
M.C.M. DE POLINOMIOS.
La regla es la misma del caso anterior.
(1) Hallar el m.c.m. de 4ax - 8axy+ 4ay , 6bx-6by
descomponiendo:
4ax - 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2 .a(x-y)
6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)
elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2
2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2 + 4by2 + 4b2y2
x3 +2bx2=x2(x+2b)
x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)
x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2
el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)
MAXIMO COMUN DIVISOR
FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que està contenida exactamente en cada una de las primeras.
Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.
Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.
Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-x
MÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .
Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2
M.C.D. DE POLINOMIOS.
REGLA.
Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.
(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx
el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.
(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m
descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4
48a3 b3c=24.3.a3b3c
60a4b3m=22.3.5.a4b3m
el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.
M.C.D DE POLINOMIOS
Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios dados ; en el segundo caso se halla el m.c.d. por divisiones sucesivas.
m.c.d. de polinomios por descomposicion en factores .
REGLA.
Se descomponen los polinomios dados en susfactores primos . el m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
(1) Hallar el m.c.d. de 4a2+ 4ab y 2a4-2a2b2
factorando estas expresiones : 4a2+4ab =4a (a+b)=22a (a+b)
2a2-2a2b2=2a2(a+b)(a-b)
los factores comunes son 2, a y (a+b),luego m.c.d.=2 a(a+b) R.
(2) Hallar el m.c.d. de x2-a, x2-x-6 y x2+4x+4
factorando x2-4=(x+2) (x-2)
x2-x-6=(x-3) (x+2)
x2+4x+4=(x+2)
el factor comun es (x+2) y se toma con su menor exponente, luego m.c.d.= x+2. R.
OPERACIONES CON FRACCIONES .
SUMA.
REGLA PARA SUMAR FRACCIONES.
1.- Se simplifican las fracciones dadas si es posible .
2.-se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si son distintos denominador
3.-se efectúan las multiplicaciones indicadas
4.-se suman los denominadores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador comun
5.-se reducen términos semejantes en el numerador
6.-se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADOR MONOMIO.
(1) SUMAR 3/2ª y a-2/6a2
Hay que reducir las fracciones al mínimo común denominador
El m.c.m de los denominadores es 6a2 dividiendo 6a2 entre los denominadores, tenemos: 6a2/6a2=1 estos cocientes los multiplicamos por los numeradores respectivos y tendremos:
3/2a+a-2/6a2= 3(3a)/6a2+ a-2/6a2= 9a/6a2+a-2/6a2
(sumando los numeradores)= 9a+a-2/6a2= 10ª-2/6a2
simplificando = 2(5ª-1)/6ª2 = 5ª-1/3a2 R.
RESTA.
REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
(1).- Se simplifica las fracciones dadas si es posible
(2).-Se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si tienen distintos denominador.
(3)Se efectùan las multiplicaciones indicadas
(4)Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador comun
(5).-Se reducen términos semejantes en el numerador
(6).-Se simplifica el resultado si es posible.
RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIO.
de a+2b / restar 4ab2-3 / 6a2b
el m.c.m. de los denominadores es 6a2b. Dividiendo 6a2b entre cada denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tenemos.
A+2b/3a- 4ab2-3/6a2b = 2ab(a+2b)/6a2b-4a2b-3/6a2b
(multiplicando) = 2a2b+4ab2/6a2b -4ab2-3/6a2b
(restando los numeradores) = 2a2b+4ab2-(4ab2-3)/ 6a2b
(quitando paréntesis) = 2a2b+4ab2+3/ 6a2b
(reduciendo) = 2a2b+3/6a2b R.
(2) restar x+2/x2 de x-1/3x
el m.c.m. de los denominadores es 3x2, que sera el denominador comun
tendremos: x-1/3x - x+2/x2 =x(x-1)/3x2 - 3(x+2)/3x2
(multiplicando) = x2-x/3x2 - 3x+6/3x2
(restando los numeradores) =x2-x - (3x+6)/ 3x2
(quitando el paréntesis) = x2-x- 3x-6/3x2
(reduciendo) = x2-4x-6/3x2 R.
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción algebraica .- es convertirla en una fracción equivalente cuyos termonos sean primos entre si .
Cuando los terminos de una fraccìòn son primos entre si,la fracciòn es irreducible y entonces la fracción èsta reducida a su mas simple expresión o a su mìnima expresión.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS.
REGLA.
Se divide el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si.
=
(1) simplificar 4a2b5/6a3b3m
tendremos 4a2/6a3b3=2.1.b2/3.a.1=2b2/3am
Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a2 y a3 entre a2 y obtuvimos los cocientes 1 y a ;b5 y b3 entre b3 y obtuvimos los cocientes b2 y 1. como 2b2 y 3am no tienen ningún factor común, esta resulta irreducible
(2) simplificar 9x3y3/36x5y6
9x3y3/36x5y6= 1.1.1/4.x2.y3 = 1/4x2y8.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.
Regla
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.
(1) simplificar 2ª2 .
4ª2 -4ab
2ª2 . = 2a2 = a .
4ª2 -4ab 4ª(a-b) 2(a-b)
Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y a2 y a entre a.
(2) simplificar 4x2y3 .
24x3 y3 - 36x3y4
4x2y3 . = 4x2 y3 = 1 .
24x3 y3 - 36x3y4 12x3y3(2-3y) 3x(2-3y)
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