funcion lineal

FUNCIÓN LINEAL 

INTRODUCCIÓN
Las gráficas de las funciones lineales y de las funciones cuadráticas cambian de acuerdo a la variación de los parámetros que integran sus fórmulas.

Estas funciones permiten explicar el movimiento uniforme y acelerado como un modelo de la Física.

Analizaremos ambos temas en este trabajo.

Función lineal

Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

Definición: Las funciones lineales son polinomios de primer grado. ver grafica ejes

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2

Tambien recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que este dentro del dominio.

Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).

¿Cómo se coloca en un par de ejes coordenados? ¿Que tal si repasamos esto?



Y ahora que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una función lineal. Con el botón "paso a paso" iremos construyendo juntos la gráfica de una recta. Cuando termines, con el botón "de nuevo" podrás hacer otra gráfica.

f: R —> R / f(x) = a.x+b

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.

Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11

si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13

si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7

si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4

si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.

h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4

si x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.



¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j?

Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las "fórmulas" de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.

Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia.

La representación gráfica de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.

Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función. El dominio es muy importante.

Cuando no se especifíca el dominio y codominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

              Veamos otro ejemplo:

Esta función, llamada q, ¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R.

Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.


Dominio

x

Codominio
y
4
1
7
2
13
4
16
9


Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si

Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación

Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ?

Primero lo piensas y luego toca el botón "lineal".

RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es f: R —> R / f(x) = a.x+b con a yb números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b.

Sistema de ecuaciones lineales: método gráfico.

¿como puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x?

¿como puedo hallar el punto de corte de la recta con el eje x con gráficas?

Un ejercicio resuelto: costo, ingreso, ventas, beneficio.

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma?

Ejercicio resuelto: De la funcion 3x+4y=12 deducir la fórmula de la ecuación de la recta y tambien la de una paralela y otra perpendicular.
Luego graficar por pendiente y ordenada en el origen.

Otro ejercicio resuelto: Dar la ecuación de la recta con los datos: pendiente y un punto.

Función

DEFINICION DE FUNCIÓN 

concepto de función tiene su origen en el término latino functĭo. La palabra puede ser utilizada en diversos ámbitos y con distintos significados.

Por ejemplo, una función es la representación de una obra artística. La función teatral es la representación que se realiza en vivo en un teatro, mientras que también se denomina función a la exhibición de una película en las salas de cine.

Por otra parte, una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).


En la informática, más precisamente en los lenguajes de programación, una función es un tipo de subalgoritmo que describe una secuencia de órdenes. Estas órdenes cumplen con una tarea específica de una aplicación más grande.

Para la semiótica, una función es el conjunto de elementos y las relaciones entre ellos que son necesarias para definir una estructura.

Por último, una función técnica es el pasaje, a través de un dispositivo apropiado, de un conjunto dado de estados iniciales de un sistema, al conjunto deseado de estados finales. Por ejemplo: un sistema “fuente de agua”, con un estado inicial de “agua impura”, puede utilizar la función técnica “purificación del agua” para lograr que el estado final sea “fuente de agua pura”.

Lee todo en: Definición de función - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/funcion/#ixzz2AKWmFXdY

Suma y diferencia de numeros complejos

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Fracciones Algebraicas

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

Son fracciones algebraicas:




Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.

El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.

Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:



Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.

Por ejemplo, simplificar:



Otro ejemplo, simplificar la fracción



Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar



Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel).

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero acomún denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador

Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:




Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda




Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Veamos el siguiente ejemplo:



Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1




Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:



Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:




Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar


El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos




¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar



Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:



Simplificamos antes de efectuar el producto:



Ahora, podemos multiplicar los factores finales:



Ejemplos desarrollados

a)


b)



c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:



Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas

Dividir



Anotamos haciendo el producto cruzado:



Simplificamos y finalmente multiplicamos:



Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d)

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1)


2)


3)

Productos notables

productos notables

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se presentan con tanta frecuencia que es posible efectuarlas de manera mecánica.

Primer producto notable.

Producto de binomios que tienen un termino idéntico (o común), es decir, expresiones como (x + a) (x + b).

Usamos la literal x en ambos binomios para indicar que se trata de un termino común o idéntico.

Obtengamos el producto de (x + a) (x +b) efectuando la operación como se explico en la multiplicación de polinomios.

x + a
x + b

_______________________

x2 + ax
+ bx + ab
_______________________

x2 + ax + bx + ab

Observamos que ax y bx son términos semejantes que se pueden reducir a un solo termino, como de indica.

ax +bx = (a +b)x

De manera que tenemos : (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x + ab

Segundo producto notable.

Producto de dos binomios iguales (x +a)(x +a), conocido como el cuadrado de un binomio : (x +a)2

Obtengamos el producto x + a

x + a_________

x2 + ax

+ ax + a2____

x2 + ax + ax + a2

Como : ax + ax = (a + a)x = 2ax

Tenemos : (x + a)(x + a)= (x + a)2 = x2 +2ax + a2

Tercer producto notable.

Producto de binomio del tipo (ax + b)(cx + d)cuando a, b, c y d son números enteros.

Obtengamos el producto : ax + b

cx + d .

acx2 + bcx

+ adx + bd .

acx2 + adx + bcx + bd

Como : adx + bcx = (ad + bc)x

Tenemos : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Cuarto producto notable.

Producto de binomio del tipo (x + a)(x - a), que se conocen como binomios conjugados.

Obtengamos el producto: x + a

x - a
_____________________
x2 + ax

- ax - a2
______________________

x2 + 0x - a2

Tenemos que : (x + a)(x - a) = x2 - a2

Quinto producto notable.

Producto de tres binomios iguales del tipo (x + a), conocido como cubo de un binomio o (x + a)3

En el segundo producto notable obtuvimos: (x + a)(x + a)=x2 + 2ax + a2

De manera que para obtener el producto de (x + a)(x + a)(x + a), efectuamos la siguiente operación:

X2 + 2ax + a2

x + a
__________________

x3 + 2ax2 + a2x

ax2 + 2a2x + a3

________________________

x3 + 3ax2 + 3a3x + a3

entonces : (x + a)(x + a)(x + a)= (x + a)3= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Sexto producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x + y)(x2 -xy + y2)

Obtengamos el producto : x2 - xy + y2

x + y
___________________

x3 - x2y + xy2

x2y - xy2 + y3
________________________

x3 + y3

es decir : (x + y)(x2 - xy + y2)= x3 + y3

Séptimo producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x - y)(x2 + xy + y2)

Obtengamos el producto : x2 + xy + y2

x - y

__________________
x3 + x2y + xy2

- x2y - xy2 - y3
___________________________

x3 - y3

Entoces: (x - y)(x2 + xy + y2)= x3 - y3

FACTORIZACIÓN

Factorización de expresiones que tienen factor común.

Observa la siguiente expresión : am + bm + cm

Nota: que m es factor en cada uno de los términos; recordando la propiedad distributiva, podemos escribirla así;

am + dm + cm = m (a + b + c)


Factorización de trinomios cuadrados perfectos .

Un trinomio cuadrado perfecto es le resultado que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado; es de esperarse entonces que su factorización sea este binomio.


Trinomio Factorización


a2 + 2ab + b2 = (a + b)2



a2 - 2ab + b2 = (a - b)2



si la expresión cuadrática por factorizar se identifica como un trinomio cuadrado prefecto, la factorización es siempre un binomio elevado al cuadrado.

Factorización de expreciones cuadráticas del tipo x2 + (a + b)x + ab, cuando a y b son enteros.

En el tema de productos notables , obtuvimos:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, que puede escribirse



x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ………………(A)



Analizando (A) observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de dos factores, que son dos binomios lineales con un termino común: (x + a) y (x + b).

Factorización de expresiones cuadráticas del tipo

acx2 + (ad + bc)x + bd cuando a,b,c y d son enteros y ac = 1.

Cuando estudiamos productos notables obtuvimos que:

(ax + b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd


o bien acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx +d)

RADICACIÓN

Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.

Así 2a es raíz cuadrada de 4a2 porque ( 2a )2 = 4a2 y -2a también es raíz cuadrada de 4a2 porque (-2a)2 = 4a2.

3x es raíz cúbica de 27x3 porque (3x)3= 27x3.

El signo de raíz es , llamado signo radical. De baja de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical.

El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es 2.

Así, a4 significa una cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical a4; esta raíz es a2 y -a2 porque (a2)2= a4 y (-a2)2= a4.

3 8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3; esta raíz es 2x porque (2x)3= 8x3.

EXPRESION RADICAL O RADICAL. Es toda raíz indicada de un numero o de una expresión algebraica. Así 4 , 3 9a3 , 4 16a3 , son expresiones radicales.

Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta es irracional.

Las expresiones irracionales como 2 , 3 3a2 son las que comúnmente se llaman radicales.

El grado de un radical lo indica su índice. Así, 2ª es un radical de segundo grado; 3 5a2 es un radical de tercer grado; 4 3x es un radical de cuarto grado.

SIGNOS DE LAS RAICES.

1) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical.

Así, 3 27a3 = 3a porque (3a)3= 27a3

3 27a3 = -3a porque (-3a)3= -27a3

5 x10 = x2 porque (x2)5 = x10

5 -x10 = -x2 porque (-x2)5 = -x10.

2) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo : + y -

Así, 25x2 = 5x o -5x por que (5x)2= 25x2 y (-5x)2= 25x2.

Esto se indica de este modo : 25x2 = + - 5x.

Del propio modo, 4 16a4 = 2a y -2a porque (2a)4= 16a4 y (-2a)4 = 16a4 .

Esto se indica : 4 16a4 = + - 2a.

CANTIDAD IMAGINARIA.

Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.

Así, -4 no se puede extraer. La raíz cuadrada de -4 no es 2 porque 22=4 y no -4, y tampoco es -2porque (-2)2=4 y no -4. -4 es una cantidad imaginaria

Del propio modo, -9 -a2 4 -16x2 son cantidades imaginarias

CANTIDAD REAL. Es una expresión que no contiene ninguna cantidad imaginaria. Así, 3a, 8, 5 son cantidades reales.

VALOR ALGEBRAICO Y ARITMETICO DE UN RADICAL.

En general, una cantidad tiene tantas raíces de un grado dado como unidades tiene el grado de raíz. Así, toda cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc., pero generalmente una más raíces de éstas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, dos de las cuales son imaginarias.

El valor real y positivo de un radical, si existe, o el valor real negativo si no existe el positivo, es lo que se llama valor aritmético del radical. Así,

9 = + - 3; el valor aritmético de 9 es + 3

4 16 = + - 2 ; el valor aritmético de 4 16 es + 2

al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritmético.

RAIZ DE UNA POTENCIA

Para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Decimos que n a m = a m/n.

En efecto : (a m/n)n = a (m/n) n = am, cantidad subradical

ejemplo.

a4 = a 4/2 = a2

Si el exponente de la potencia no es divisible por el índice de la raíz, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.

Ejemplo.

a =a ½

RACIONALIZACIÒN.

Al proceso de eliminar radicales del denominador de una expresión se le denomina “racionalizar el denominador”.

Si el denominador es un radical que no tiene raíz perfecta, deberá convertirse utilizando lo expresado en Pág. Anteriores. “un radical tiene raíz perfecta cuando la cantidad subradical es expresada en factores que están elevados en un exponente múltiplo de la raíz.

Es obvio que nos referimos a expresiones fraccionarias en las cuales el denominador es una expresión radical y cuyo numerador puede no serlo.

Racionalizar el denominador de la expresión 3 5

2 3

solución: el radical denominador tendrá raíz perfecta si el exponente de la cantidad subradical es 2; esto se logra multiplicando por 3 , ya que 3 * 3 = 3 = 3

recuerda que si multiplicamos por 3 el denominador, el numerador debe ser multiplicado por la misma cantidad para que no se altere la expresión.

Procedimiento: 3 5 . 3 = 3 5 3 = 3 15 = 1 15

2 3 3 2 3 6 2

ejemplo: racionalizar el denominador de al expresión 5

16

solución: como 16 = 2, sustituyendo tenemos: 5 = 5

16 2

el radical denominador tendrá raíz perfecta si la cantidad subradical tiene como exponente un múltiplo de 3 ( que es el índice de la raíz),; esto se logra multiplicando numerador y denominador por 2 , ya que 2 . 2 = 2

procedimiento: 5 . 2 = 5 2 = 5 2 = 5 2

2 2 2 2 8

observa que 2 no esta simplificado, de manera que:

5 = 5 2 . 2 = 5 . 2 2 = 5 4

16 8 8 4

ahora demuestra que se obtiene el mismo resultado y de manera mas facil si el numerador y el denominador se multiplican por 2 , ya que 2 . 2 = 2 ; es decir, la operación se simplifica si se busca el múltiplo más próximo al índice de la raíz.

Ejemplo: racionalizar el denominador de la expresión 7

2 - 3

en este caso procedemos de manera diferente a la utilizada en los ejemplos anteriores. Observa que el denominador es al diferencia de dos radicales; si multiplicamos por su conjugado, que es ( 2 + 3 ), tenemos.

( 2- 3)( 2 + 3 ) = ( 2 ) - ( 3) = 2-3 = -1

y por lo tanto se ha eliminado el denominador radical.

Procedimiento; 7 . 2 + 3 = 7 ( 2 + 3 ) = 14 + 21 = - 14 - 21

2 - 3 2 + 3 -1-1

RELACIONES

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIONES Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS

El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia es establece mediante una regla de asociación.

Las reglas de asociación entre los elementos de los conjuntos, por lo general, no son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el lenguaje matemático.

Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:


Cuando viajas en autobús o en automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad y, como sabes por cursos anteriores de física, regla de asociación es = velocidad por tiempo.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Si cada elemento de cualquier conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y a través de una regla de asociación o correspondencia, esto define una función F de X en Y.


Al conjunto X se le conoce como el dominio de la función F.


Al elemento Y que corresponde a determinado elemento X el dominio se le conoce como la imagen de X bajo F y se le denota como F(X).


El conjunto de imágenes F(X) constituyen el conjunto Y, al que se le conoce como el rango de la función F.



De la función conviene destacar lo siguiente:


Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del rango.


Las imágenes Y o F(X), que corresponden a los elementos X del dominio, se determina mediante la regla de la asociación o correspondencia.

En una función, de dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición sobre que a un elemento del dominio sólo le corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango.

NOTA: Cuando la regla de la función no se cumple se da relación.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN.- Una ecuación es una proposición de igualdad que involucra una o más literales que representan valores no conocidos. Si la proposición sólo involucra números, la ecuación es numérica; si en cambio involucra expresiones algebraicas, se denomina ecuación algebraica.

Ejemplos de ecuaciones numéricas:

1+2+5=8 2+3=5 5-2=3

Son ejemplos de ecuaciones algebraicas:


5x+3=0


8x-3y=2


2ª + 5b = 3c-4

LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA SOLA INCÓGNITA.

Una ecuación lineal con una variable es una proposición de la forma

ax + b =0 con a = 0

Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.

Para encontrar la solución de la ecuación lineal con una incógnita, procedemos de la siguiente manera .


Si existen varios términos que contienen a la incógnita, éstos deben situarse en el mismo lado del signo igual, comúnmente del lado izquierdo. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno sólo.


Si existen varios términos que no contienen a la incógnita, éstos deben situarse al otro lado del signo igual. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno solo.


Si el coeficiente de la incógnita no es la unidad, se debe transformar en este valor .

En algunas ocasiones se tendrán que efectuar operaciones, adicionales como por ejemplo, eliminar signos de agrupamiento.

Las propiedades de las ecuaciones nos permiten despejar la incógnita y por lo tanto determinar su valor.

A continuación resolveremos un ejemplo señalando las propiedades de las igualdades utilizadas.

Ejemplo: encontrar la solución lineal 7x+8 = 2x-7


Situar los términos en x del lado izquierdo de la igualdad.

Identificamos la ecuación de la siguiente manera:

7x+8 = 2x-7

A = B

La propiedad aditiva 1) de la igualdad establece que si A = B, entonces A + C = B + C

Considerando que C es inverso aditivo del término (2x) y aplicando la propiedad tenemos:

7x + 8 + (-2x ) = 2x - 7 + (- 2x)

A + C = B + C



Agrupando y simplificando:

7x + 2x + 8 = 2x - 2x - 7



7x - 2x + 8 = - 7

Observa que los términos que contienen a x están ahora en el lado izquierdo; simplificando.

5x + 8 = - 7


Situar en el lado derecho del signo igual, los términos que no contienen a x, usando nuevamente la propiedad aditiva y considerando como C al inverso aditivo del término 8 que es -8, tenemos:

5x + 8 + (-8) = -7 + (-8)

simplificando:

5x = -7 - 8


El coeficiente de x debe ser la unidad. Identifiquemos la ecuación de la siguiente manera :

5x = - 15

A = B

La propiedad multiplicativa de la igualdad establece que si A = B, entonces A . C = B . C

Considerando que C es el inverso multiplicativo del coeficiente de la incógnita (5) que resulta ser (1/5), aseguramos que dicho coeficiente se transforma en la unidad.


1 x = ( -15) 1

5 5

x = -15

5

de donde x = - 3



LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS.

La ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas se expresa como:

Ax + By + C = 0

Donde A,B,C = R A = 0 Y B = 0

Al proponer una igualdad involucra a dos variables o incógnitas, representadas

por x y y, aun cuando puede usarse cualquier par de letras del alfabeto.

Estas ecuaciones se pueden ver desde los sig. Punto

1.- conocida la ecuación, determinaremos su solución.

2.-Se construira la ecuación apartir de enunciados que conduzacna a ello.

3.-Solución de ecuaciones lineales con dos variables.

Es evidente que la solución de estas ecuaciones es uan pareja de valores x y y que satisfacen la igualdad.

En la siguiente ecuación es fácil determinar los valores de x y y que la satisfacen: X + y =2

La solución seria: x =1.5 y y = 0.5 también es una solución. Procediendo de esta manera podemos determinar un numero infinito de soluciones.

El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y que constituyen el conjunto solución consiste en:


Despejar cualquiera de las variables.


Asignarle valores a la otra variable.


Determinar el valor que le corresponde a la variable que se despejo.

Ejemplo: Dada la ecuación 5x + y - 3= 0, encontrar al menos tres soluciones:


se eligio despejar la variable y

y = -5x + 3


se le asigno los siguientes valores a x

x = 2, x= o y x= 3

( Los valores asignados a x son arbitrarios; es decir, no dependen ni estan condicionados; por esta razón se le conoce como la variable independiente.


se determino los valores de y que corresponden a los valores asignados a x.)

Si x= -2 y = -5(-2) + 3 y = 13

Si x = 0 y = -5(0) +3 y = 3

Si x= 3 y = - 5(3) + 3 y = -12

Soluciones:

X = -2 x = 0 x = 3

Y = 13 y = 3 y = -12

( Los valores y dependen de los valores asignados a x; por esta razón se le conoce cono variable dependiente.

Comprobación:

Sustituyendo la ecuación 5x + y -3 = 0 los valores de x y y, esta se debe satisfacer.

Para x = 3 y y = -12 para x = -2 y y= 13 para x = 0 y y = 3

5(3) - 12 -3 = 0 5(-2) + 13 -3 = 0 5 (0) + 3 - 3 = 0

15 - 15 = 0 -10 + 13 - 3 = 0 0 = 0

0 = 0 0 = 0



28

Potenciación

POTENCIACIÓN

La potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces.
Así:
La primera potencia de una expresión es la misma expresión:
Ejemplo:

(2a)¹ = 2a

La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces.

Por ejemplo:

(2a)2 = 2a x 2a = 4a2


El cubo de una fracción es el resultado de tomarla como factor tres veces.

Por ejemplo:

(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 8a3


así: (2a)n = 2a x 2a x 2a .........n veces.

El signo de las potencias.

Al elevar una potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva., ya que este equivale a un producto en que todos los factores son positivos.

En el caso de las potencias de cantidades negativas:

1.-Toda cantidad par de una cantidad negativa es positiva.

2.- Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Se puede decir lo siguiente:

(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2


(-2a)3 = (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3


(-2a)4= (-2a) x (-2a) x (-2a) x (-2a) = 164a4.

Potencias en polinomios

Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.
Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponente es par, y es - cuando es exponte es impar-

Por ejemplo:

a).-(3ab2)3

(3ab2)3 = 33 .a1x3.b2x3 = 27 a3b6.

b).-(-3a2b3)2

(-3a2b3)2= 32.a2x2.b3x2= 9a4b6

Cuando el monomio es una fracción, para elevarlo a una potencia cualquiera, se eleva su numerador y su denominador a esa potencia.

Así:

-2x 4 = (2x)4 = 16x4

3y2 (3y2)4 81y8

Cubo de un binomio

Se sabe que:

(a+b)3 = a3 + 3a2 + 3ab2 + b2.

(a-b)3 = a3 - 3a2 + 3ab2 - b2.

Al llevar a efecto (4a3 +5a2b2)3.= (4a3)3 +(4a3)2 (5a2b2) + 3 (4a3) (5a2b2)2 + (5a2b2)3

= 64a9 + 240a8b2 + 300 a7 b4 +125a6b6

El triangulo de pascal.

Los coeficientes de los terminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da en seguida el triangulo de pascal.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 esta el exponente del binomio.

Así, los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, ósea 1,4,6,4,1.

Los coeficientes del desarrollo de (m + n)5 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 5, ósea 1, 5,10, 10, 5, 1.

Los coeficientes del desarrollo de (2x-3y)7 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 7, o sea 1,7,21, 35, 35, 21, 7, 1.

En la practica, basta formar el triangulo hasta la fila horizontal en que después del 1 viene el exponente de binomio. Los números de esta ultima fila son los coeficientes que se necesitan.

MINIMO COMUN MULTIPLO.

COMUN MÚLTIPLO. De dos o màs expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Asì, 8ab es comùn múltiplo de 2ª y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2ª y por 4ab ; 3x-9x+6 es comùn múltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible exactamente por x-2 por x-3x+2.


MINIMO COMUN MÚLTIPLO. De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas .


Asì , el m.c.m. es de 4ª y 6ª es 12ª ; el m.c.m.de 2x , 6x y 9x es 18x. La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.


M.C.M DE MONOMIOS.
REGLA:
Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de èste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.


Hallar el m.c.m. de ax y ax.

Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayor exponente x y tendremos :m.c.m.=ax.


(2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc


12ab=2.3ab

el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuación escribimos a con su mayor exponente b y c, luego:

m.c.m.=2. 3abc.


M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

REGLA:


Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes y no comunes, con su mayor exponente.


(1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x -3.

descomponiendo 6=2.3

3x-3=3(x-1)

m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)

(2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21

descomponiendo 14a=2.7a

7x-21=7(x-3)


el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)


(3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x



como 15x està contenido en 45x , prescindimos de 15x



descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)


45x=3 .5 .x


m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)


M.C.M. DE POLINOMIOS.


La regla es la misma del caso anterior.


(1) Hallar el m.c.m. de 4ax - 8axy+ 4ay , 6bx-6by



descomponiendo:



4ax - 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2 .a(x-y)


6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)


elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2


2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2 + 4by2 + 4b2y2


x3 +2bx2=x2(x+2b)


x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)


x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2



el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)


MAXIMO COMUN DIVISOR



FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que està contenida exactamente en cada una de las primeras.


Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.


Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.


Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-x


MÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .


Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2


M.C.D. DE POLINOMIOS.


REGLA.


Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.


(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx



el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.


(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m



descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4


48a3 b3c=24.3.a3b3c


60a4b3m=22.3.5.a4b3m


el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.


M.C.D DE POLINOMIOS


Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios dados ; en el segundo caso se halla el m.c.d. por divisiones sucesivas.


m.c.d. de polinomios por descomposicion en factores .


REGLA.


Se descomponen los polinomios dados en susfactores primos . el m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.


(1) Hallar el m.c.d. de 4a2+ 4ab y 2a4-2a2b2


factorando estas expresiones : 4a2+4ab =4a (a+b)=22a (a+b)


2a2-2a2b2=2a2(a+b)(a-b)


los factores comunes son 2, a y (a+b),luego m.c.d.=2 a(a+b) R.


(2) Hallar el m.c.d. de x2-a, x2-x-6 y x2+4x+4


factorando x2-4=(x+2) (x-2)


x2-x-6=(x-3) (x+2)


x2+4x+4=(x+2)


el factor comun es (x+2) y se toma con su menor exponente, luego m.c.d.= x+2. R.


OPERACIONES CON FRACCIONES .



SUMA.


REGLA PARA SUMAR FRACCIONES.


1.- Se simplifican las fracciones dadas si es posible .


2.-se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si son distintos denominador


3.-se efectúan las multiplicaciones indicadas


4.-se suman los denominadores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador comun


5.-se reducen términos semejantes en el numerador


6.-se simplifica la fracción que resulte, si es posible.


SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADOR MONOMIO.


(1) SUMAR 3/2ª y a-2/6a2


Hay que reducir las fracciones al mínimo común denominador


El m.c.m de los denominadores es 6a2 dividiendo 6a2 entre los denominadores, tenemos: 6a2/6a2=1 estos cocientes los multiplicamos por los numeradores respectivos y tendremos:


3/2a+a-2/6a2= 3(3a)/6a2+ a-2/6a2= 9a/6a2+a-2/6a2


(sumando los numeradores)= 9a+a-2/6a2= 10ª-2/6a2


simplificando = 2(5ª-1)/6ª2 = 5ª-1/3a2 R.


RESTA.



REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES


(1).- Se simplifica las fracciones dadas si es posible


(2).-Se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si tienen distintos denominador.


(3)Se efectùan las multiplicaciones indicadas


(4)Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador comun


(5).-Se reducen términos semejantes en el numerador


(6).-Se simplifica el resultado si es posible.


RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIO.


de a+2b / restar 4ab2-3 / 6a2b


el m.c.m. de los denominadores es 6a2b. Dividiendo 6a2b entre cada denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tenemos.


A+2b/3a- 4ab2-3/6a2b = 2ab(a+2b)/6a2b-4a2b-3/6a2b


(multiplicando) = 2a2b+4ab2/6a2b -4ab2-3/6a2b


(restando los numeradores) = 2a2b+4ab2-(4ab2-3)/ 6a2b


(quitando paréntesis) = 2a2b+4ab2+3/ 6a2b


(reduciendo) = 2a2b+3/6a2b R.


(2) restar x+2/x2 de x-1/3x


el m.c.m. de los denominadores es 3x2, que sera el denominador comun


tendremos: x-1/3x - x+2/x2 =x(x-1)/3x2 - 3(x+2)/3x2


(multiplicando) = x2-x/3x2 - 3x+6/3x2



(restando los numeradores) =x2-x - (3x+6)/ 3x2


(quitando el paréntesis) = x2-x- 3x-6/3x2


(reduciendo) = x2-4x-6/3x2 R.


SIMPLIFICACION DE FRACCIONES.


Simplificar una fracción algebraica .- es convertirla en una fracción equivalente cuyos termonos sean primos entre si .


Cuando los terminos de una fraccìòn son primos entre si,la fracciòn es irreducible y entonces la fracción èsta reducida a su mas simple expresión o a su mìnima expresión.


SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS.


REGLA.


Se divide el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si.


=


(1) simplificar 4a2b5/6a3b3m



tendremos 4a2/6a3b3=2.1.b2/3.a.1=2b2/3am


Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a2 y a3 entre a2 y obtuvimos los cocientes 1 y a ;b5 y b3 entre b3 y obtuvimos los cocientes b2 y 1. como 2b2 y 3am no tienen ningún factor común, esta resulta irreducible


(2) simplificar 9x3y3/36x5y6



9x3y3/36x5y6= 1.1.1/4.x2.y3 = 1/4x2y8.


SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.


Regla


Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.


(1) simplificar 2ª2 .


4ª2 -4ab


2ª2 . = 2a2 = a .


4ª2 -4ab 4ª(a-b) 2(a-b)


Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y a2 y a entre a.


(2) simplificar 4x2y3 .


24x3 y3 - 36x3y4


4x2y3 . = 4x2 y3 = 1 .


24x3 y3 - 36x3y4 12x3y3(2-3y) 3x(2-3y)

Valor absoluto

valor absoluto

VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de una cantidad es el numero que representa la cantidad sin importar el signo o sentido de la cantidad. Por ejemplo el valor absoluto de un numero positivo es el mismo que el numero original; el valor absoluto de un número negativo, es el valor del numero pero sin el signo.


Ejemplo.

16 = 16; -16 = 16; 8 = 8 ; -8 = 8


LEY DE LOS SIGNOS

Suma y resta de números con un mismo y con diferente signo.

Cuando dos números positivos se suman el resultado es positivo.

Cuando dos números negativos se suman el resultado es negativo.


Cuando se suma un numero positivo y un numero negativo se toma el signo del número de mayor valor absoluto.


Ejemplo:

3+4 = 5 -3+(-5) = -8 -6 + 20 = 14

5+7= 12 -9+(-3) = -6 5 + (-20) = -15

Multiplicación y División de números con un mismo y con diferente signo.
Cuando se multiplican o dividen dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.
Cuando se multiplican o dividen dos números con diferente signo , el resultado es negativo.


Ejemplo:

6.5 = 30 5. (-7)= -35
12 : 6 = 2 -3. 5 = 15

(-3) . (-5) = 15 20 (-10) = -2


(-25) (-5) = 5 -36 (6) = -6

LEYES DE LOS EXPONENTES.

Al revisar una potencia veremos que:

X° = 1

Como cualquier numero diferente de cero o una variable elevada a la potencia cero es indefinido.

Al haber un numero son una variable o sin exponente se supone que esta elevado a la cero potencia. Por ejemplo.

7°= 7 y¹ = y

El exponente cero


Este proviene de dividir potencias iguales de la misma base.


1. a2 : a2 = a2-2 = a°. 2.- y7 : y7 = y7-7 = y°.


En general existen 10 leyes de los exponentes:


Al hacer una multiplicación los exponentes se suman.


1.-xa (x b ) = x a+b


por ejemplo:


a) x3 (x 4) = x3+4 = x4 = x3

X3 (x4 ) = (x.x.x) (x.x.x.x) = x7

Al hacer una división los exponentes se restan.


2.-x / x = x


por ejemplo:


b)x / x = x = x = x


2.1 x = x.x.x.x.x.x = (x.x.x.x) = x


x x.x


Al elevar a una potencia, los exponentes se multiplican.


3.- (x ) = x


Por ejemplo:


c).- ( x ) = x = x = x


3.1 ( x ) = (x.x.x.x) (x.x.x.x) = x


4.-(xy) = x (y )


por ejemplo:


d).- (xy) = x y = xy


4.1.- (xy) =(xy) (xy) (xy) = (x.x.x) (y.y.y) = x y


5.-(x/y) = x / y


por ejemplo:


e).- (x/y) = x / y = x / y o x/y


x = (x) (x) (x) (x) = x


y (y) (y) (y) (y) y


6.- 1/x = x


por ejemplo:


f).- x / x = x = x = 1/x = x


6.1 x = (x.x) = 1


x (x.x.x) x


7.- x = x


7.1 x = (x.x) = 1


x (x.x.x) x


8.- En esta regla , como dice la regla uno los exponentes de base común se suman en la multiplicación, el exponente de x cuando se suman a si mismo, debe de ser igual a uno. Ya que ½ + ½ = 1, y el exponente de x es ½.


Así que, x . x = x . x = = x¹ = 1


8.- x = x


por ejemplo:


h) x = x


8.1.- x . x . x = x, entonces x . x .x = x = x¹ = x


9.- x = x = (x )


por ejemplo


i) x = (x ) o (x )


o también:


4 = (4 ) = ( 4) = (+ 2) = + 8


4 =(4 ) = (64) = 64 = + 8


10.- 1/x = x


j) x = 1/x = 1/(x ) o 1/(x )


o también:


10.1 27 = 1 = 1 = 1


(27 ) (729) 9


27 = 1 = 1 = 1


(27 ) (3) 9